Keberkaitan turunan pertama dan kedua dengan nilai maksimum atau minimum

Nilai minimum dari fungsi f(x)=x2−6x+8 adalah....

Secara langsung kita dapat menyelesaikan sebagai berikut:
f(x)=x2−6x+8

$f^{\prime }(x)=2x-6$
f′(x)=0

2x=6
x=3
x = 3, disubstitusikan ke fungsi semula, sehingga
f(3)=32−6(3)+8$f(3)=3^2-6(3)+8$
f(3)=−1$f(3)=-1$
Jadi nilai minimum fungsinya adalah -1.

Sekarang, mungkin muncul pertanyaaan kenapa turunan yang diperoleh harus disamadengankan nol. Disinilah letak hubungan antara fungsi semula dengan fungsi turunannya. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut ini

Dari gambar terlihat jelas bahwa turunan dari fungsi semula memotong sumbu x di titik (3,0). Ini memberikan penjelasan bahwa sebuah garis atau kurva yang memotong sumbu x, maka y-nya sama dengan nol, sehingga turunan yang diperoleh harus disamadengankan nol.

Dari gambar juga terlihat bahwa titik baliknya berkoordinat (3,-1), hal ini memberikan penjelasan bahwa nilai x dari turunan tersebut selanjutnya disubstitusikan ke fungsi semula dan menghasilkan nilai -1.