A. PERSAMAAN
DENGAN HARGA MUTLAK
a. Harga Mutlak
Dalam kehidupan sehari-hari,
seringkali kita dihadapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak.
Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang
lainnya. Dalam kaitannya dengan
pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa
jarak ini harganya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua
tempat nilainya tidak pernah negatif.
Secara khusus, dalam matematika
untuk memberikan jaminan bahwa
sesuatu itu nilainya selalu positif dinamakan sebagai harga mutlak.
Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarang kita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini
Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarang kita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini
Contoh. 1 :
(a)│3│
= 3
(b)│(-3)│=
-(-3)= 3
(c) │0│= 0
(a) ││-2│-│-6││= │2-6│=│-4│=4
(b) 13 +
│-1-4│-3-│-8│=13+│-5│-3-8
= 13 + 5 - 3 - 8 = 7
b. Persamaan dan
Kesamaan
Teorema
1
Jika P(x), Q(x),
dan R(x) bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana P(x),
Q(x) dan R(x) real, kalimat terbuka P(x) = R(x) adalah ekuvalen dengan
tiap-tiap dari yang berikut :
A. P(x) +R(x) = Q(x) +R(x)
untuk
x € {x/ R(x) ≠ 0
B.
P(x) .R(x) = Q(x) .R(x)
c.
Persamaan Harga Mutlak
Sebagaimana telah kita ketahui dalam membahas fungsi
rasional, bahwa untuk
setiap bilangan real x, bahwa √x2
real dan tidak negatif, dan juga jika x ≥ 0 maka √x2 = x karena x
adalah satu-satunya bilangan yang tidak negatif dan kuadratnya sama dengan x2.
Jika x < 0, maka √x2 = -x, karena (-x) > 0 dan (-x)2
= x2. Jadi untuk setiap bilangan real x
√x = │x│= x
jika x 0
= -x jika x
< 0
(Ingat bentuk-bentuk akar dan bilangan berpangkat).
Selanjutnya dengan memperhatikan definisi harga
mutlak dan kaitannya dengan
penarikan akar
di atas, kita akan melihat beberapa teorema harga mutlak, diantaranya :
Teorema 2
Untuk
setiap bilangan real x berlaku
(a) │x│=│-x │
(b)│x2
│= │-x2 │= x
Bukti (a) :
│x │= √x2
= √(-x2) = │-x│
Bukti (b) :
│x│2=
(√x2) 2 = (x) 2 jika x
> 0
=
(-x) 2 jika x < 0
= x 2 ………………(1)
│x2│=
√(x2) 2 = (x2 ) sebab x 2 > 0
= x
2 ……………..(2)
Dari (1) dan (2)
│x│2 │x2 │= x2
Teorema 3
Untuk setiap x €
R dan y € R (himpunan bilangan real), maka berlaku
(a) │xy│=│x│.│y│
B. PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK
a. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.
Contoh.
1
(a)
x ≠ y
(b)
x < y
(c)
2x ≥ 5
(d)
x2 - 5 + 6 ≤. 6
(e)
│1 – x│> 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).
Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan
tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang
memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian, dan himpunan semua pengganti
variabel yang menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang
benar disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.
Sebaliknya, suatu pertidaksamaan mutlak atau
pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk
setiap nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula
disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat
matematika tertutup.
Contoh
:
(1).
(x - 1)2 ≥ 0
(2).
X + 2 > x + 1
(3).
-3x2 - 7x - 6 < 0
(4).
-(x - 1)2 ≤ 0
(5).│3x–4│ > - │ -1│
Selain
itu ada pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti
variabelnya yang disebut pertidaksamaan palsu.
Contoh
:
(1).
X2 + 2 ≤ 0
(2).
X + 2 ≥ x + 3
(3).
(x - 2)2 < 0
(4).│2x
- 3│ > -│-x│
b. Sifat-sifat
Pertidaksamaan
Teorema 4
Jika
P(x), Q(x), dan R(x) adalah ungkapan-ungkapan dalam x, maka untuk semua
harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real, kalimat terbuka P(x) < Q(x)
adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :
A.
P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)
B. P(x) . R(x) <
Q(x) . R(x)
demikian
pula untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) adalah ekuivalen dengan kalimat-kalimat
terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan
≤ (atau ≥) dengan syarat yang sama pula, yaitu R(x) > 0 dan R(x) < 0
seperti di atas.
c. Pertidaksamaan
Harga Mutlak
Teorema 5
Jika x € R, a €
R, dan a > 0, maka x < a, jika dan hanya jika -a < x < a.
Untuk membuktikan teorema ini harus dibuktikan dua
bagian, yaitu :
(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.
(2). Jika -a < x < a, maka │x│ < a
Bukti
:
Untuk tiap x €
R,│x│ ≥ 0.
Karena a > 0, maka -a < 0
Jadi untuk tiap x, -a <│x│ .
Sekarang kita pandang dulu untuk x 0.
Dalam hal ini,│x│ = x.
Karena -a < │
x │,│x│ = x, dan │x│< a, maka -a <
x < a (terbukti).
Sekarang kita pandang untuk x < 0
Dalam hal ini │ x│= -x.
Karena -a <
│x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.
Kalikan dengan (-1), diperoleh
a>
x > -a atau -a < x < a (terbukti).
Teorema 6
Jika x € R, a €
R, dan a > 0, maka│x│> a, jika dan hanya jika x < -a atau x > a.
Buktinya dipersilakan kepada para pembaca yang
mempelajarinya untuk
mencobanya.
Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan│ x
+ 1│< 3.
Penyelesaian :
Menurut teorema 5,
│ x + 1│< 3.
Jika dan hanya jika
-3 < x + 1 < 3
Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x <
2
Jadi himpunan penyelesaiannya
{ x / -4 < x < 2 }
Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan
menggunakan simbul irisan :
{
x / x > -4 } ∩ { x / x < 2 }.
Teorema 7
Untuk setiap
R, x ≤ │x│.
Bukti : Jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi)
Jika x < 0, maka x < │x │, sebab │x│≥ 0
Jadi dalam hal ini x ≤ │x│ dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x
Teorema 8
Jika x R, y R, maka
(1). │x - y│≥│x│-│y│
(2).
│x +y│≤ │x│+│y│
Tidak ada komentar:
Posting Komentar