Teorema vieta

Teorema vieta menyatakan bahwa jumlah dan hasil kali akar-akar suatu polinomial dapat ditentukan dari koefisien-koefisien polinom tersebut.

Bentuk-bentuk Teorema Vieta 

PERSAMAAN KUADRAT
$\begin{aligned}
ax^2+bx+c&=0\\
x_{1}+x_{2}&=-\frac{b}{a}\\
x_{1}\cdot x_{2}&=\frac{c}{a}
\end{aligned}$

Persamaan pangkat 3 (Kubik)

ax3 + bx2 + cx + d = 0

x1 + x2 + x3= -b/a

x1x2 + x1x3 +  x2x3 = c/a

x1x2x3 = -d/a

Persamaan pangkat 4 (Kuartik)

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

x1 + x2 + x3 + x4 =-b/a

x1x2 + x1x3 + x1x4 +  x2x3 + x2x4 + x3x4  = c/a

x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 +x2x3x4 = -d/a

x1x2x3x4  = e/a

Dan seterusnya kalian dapat melanjutkan sendiri polanya.

Contoh

Akar-akar persamaan x3+6x2+kx+6=0 membentuk barisan aritmetika. Carilah nilai k.

Jawab :

Cara I

Misal x1 = α     x2 = α+ β      x3 = α+2β

x1 + x2 + x3= -b/a = -6

α + α+ β + α + 2β = -6

3α+ 3β = -6

α+ β = -2

α = -2 - β

x1x2x3 = -d/a = -6

α(α+ β)(α + 2β) = -6

α(-2)(α + 2β) = -6

α(α + 2β) = 3

(-2 - β)(-2 - β + 2β) = 3

(-2 – β)(-2 + β) = 3

4 – β2 = 3

β2 = 1

β = 1 dan -1

α = -2 - β = -2 - 1 = - 3 atau = -2 -(-1) = -1

x1 = α = - 3

x2 = -2  

x3 = α+2β = - 3 + 2 = - 1

x1x2 + x1x3 +  x2x3 = c/a = k

-3.-2 + -3.-1 + -2.-1 = k

k = 11

Cara II

Misal x1 = α     x2 = α+ β      x3 = α+2β

x1 + x2 + x3= -b/a = -6

α + α+ β + α + 2β = -6

3α+ 3β = -6

α+ β = -2

x2 = -2

Nilai x2 ini kita subtitusikan ke persamaan semula

x3  + 6x2  + kx +6 = 0

-8 + 24 - 2k  + 6 = 0

-2k = 22

k = -11

Soal latihan

1. Akar-akar persamaan x³-9x²+kx-15 = 0 membentuk barisan aritmatika, tentukan nilai k.
2. Akar-akar persamaan x³-13x²+ mx-27=0 membentuk deret geometri, tentukan nilai m.