Matematika Peminatan kelas X, XI dan XII : Keterbagian dan Faktorisasi Polinom

POLINOMIAL

Polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematis yang berhubungan dengan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Bentuk umum dari suatu polinomial adalah sebagai berikut

anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x1+a0

dimana a merupakan koefisien konstan, dan pangkat tertinggi pada polinomial tersebut menandakan orde atau derajatnya, sehingga polinomial diatas memiliki derajat atau orde n.

bentuk umum dari pembagian polinomial adalah

F(x) = B(x) × H(x) + S(x)

Dimana

F(x) : suku banyak
H(x) : hasil bagi
B(x) : pembagi
S(x) : sisa

metode pembagian polinomial terdapat beberapa cara, diantaranya

1. Metode Pembagian Biasa/bersusun/porogapit

Contohnya adalah jika 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan 2x2 – x – 1

maka hasil bagi = x-1 dan sisa = x+4

2. Metode Horner

Metode ini dipakai untuk pembagi yang berderajat 1 ataupun pembagi berderajat n yang bisa difaktorkan jadi pembagi-pembagi dengan derajat 1.

Jika kita ingin menentukan suatu nilai polinomial dari $f(x)=ax^2 + bx +c$ untuk x = k dengan cara horner, maka dapat disajikan dengan bentuk skema sebagai berikut:

contoh soal:

Hitunglah nilai polinomial untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
f(x) =x3 + 2×2 +3x -4 untuk x =5

Jadi nilai polinomial f(x) untuk x =5 adalah 186

Misalkan diketahui

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5

P(x) = 2x2 – x – 1

Tentukan hasil bagi dan sisanya

Jawab :

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5

P(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

Sehingga p1 : (2x + 1) = 0 -> x = -1/2 dan p2 : (x – 1) = 0 -> x = 1

Kemudian langkah hornernya ditunjukkan pada gambar berikut

Jadi, diperoleh hasil dan sisanya sebagai berikut

H(x) = x-1

S(x) = P1×S2 + S1 = x + 4

Polinomial f(x) ÷ (x – 2) sisanya 24 dan f(x) ÷ (x + 5) sisanya 10. maka f(x) tersebut dibagi

sisanya ialah…

a.    x + 34
b.    x – 34
c.    x + 10
d.    2x + 20
e.    2x – 20

PEMBAHASAN:

Rumusnya adalah P(x) = H(x) . pembagi + (px + q)
Dari soal diketahui:
–    f(x) ÷ (x – 2) sisa 24, maka:
f(x) = H(x)(x – 2) + 24
Subtitusikan x = 2, maka:
f(2) = H(2)(2 – 2) + (2p + q)
= 2p + q = 24 …. (i)
–    f(x) ÷(x + 5) sisa 10, jadi:
f(x) = H(x)(x + 5) + 10
Dengan Subtitusikan x = -5, jadi:
(f(-5) = H(-5)(-5 + 5) + (-p + q)
= -5p + q = 10 …. (ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):

2p +q =24

-5p +q =10

7p = 14

p =2
Dalam mensubtitusikan p = 2 pada 2p + q = 24
2(2) + q = 24
q = 24 – 4
q = 20
Jika f(x) dibagi  maka:

sisapx + q = 2x + 20
JAWABAN: D

Contoh No.2

Suku banyak

dibagi oleh x² – x -2 sisanya sama dengan …
a.    16x + 8
b.    16x – 8
c.    -8x + 16
d.    -8x – 16
e.    -8x – 24

PEMBAHASAN:

Pembaginya adalah: x² – x -2, maka:
= 0
(x – 2) (x + 1) = 0
x = 2 dan x = -1
Ingat rumus: P(x) = H(x) + (px + q), maka sisanya (px + q), maka:
– x = 2
f(2) = 2p + q
24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = 2p + q
16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q
-32 = 2p + q … (i)
– x = -1
f(-1) = -p + q
(-1) – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = -p + q
1 + 4 – 5 – 1 – 6 = -p + q
-8 = -p + q …(ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):

-32 =2p +q

-8 =-p +q

-24 =3p

p = -8
Apabila disubtitusikan p = –p + q = -8
-(-8) + q = -8
q = -16
Maka , sisanya = p + q = -8x – 16
JAWABAN: D

Contoh No.3

Diketahui

dan

adalah faktor dari g(x). Nilai a yang memenuhi adalah …
a.    -3
b.    -1
c.    1
d.    2
e.    5

PEMBAHASAN:

x2 + x – 6 = 0
(x + 3)(x – 2) = 0
x = -3 dan x = 2
Karena h(x) adalah faktor dari g(x), maka:
– g(-3) = 0

2(-3)3 + a(-3)2 + b(-3) + 6 = 0
-54 + 9a – 3b + 6 = 0
9a – 3b = 48 … (i)
– g(2) = 0

2(2)3 + a(2)2 + b(2) + 6 = 0
16 + 4a + 2b + 6 = 0
4a + 2b = – 22
2a + b = – 11 … (ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):

9a -3b 48 | x1 | 9a -3b =48

2a +b =-11 | x3 | 6a +3b =-33

15a =15

a = 1

JAWABAN: C

Contoh No.4

Jika f(x) dibagi oleh

masing-masing mempunyai sisa 2x + 1 dan 5x + 2 maka f(x) dibagi oleh

mempunyai sisa…
a.    22x – 39
b.    12x + 19
c.    12x – 19
d.    -12x + 29
e.    -22x + 49

PEMBAHASAN:

Misalkan sisa pembagiannya S(x) = px+ q
f(x) dibagi oleh x² – 2x atau x(x -2) → x =2 sisanya 2x + 1, maka:
S(2) = 2x + 1
S(2) = 2(2) + 1
S(2) = 5
2p + q = 5 … (i)
f(x) dibagi oleh x2 – 3x atau x(x – 3) –> x = 3 sisanya 5x + 2, maka:
S(3) = 5x + 2
S(3) = 5(3) + 2
S(3) = 17
3p + q = 17 … (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

2p + q =5

3p +q =17

-p = -12

p = 12

JAWABAN: C

Contoh No.5

Polinomial

÷ x + 1 sisa 1 dan jika ÷ (x – 2) sisanya 43. Nilai a + b = …
a.   -4
b.   -2
c.   0
d.   2
e.   4

PEMBAHASAN:

– Dibagi (x + 1) sisanya 1
maka ketika x = -1, h(-1) = 1

– Dibagi (x – 2) sisanya 43
maka ketika x = 2, h(2) = 43

16 + 20 + 2a + b = 43
2a + b = 43 – 36
2a + b = 7 …. (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

2a +b =7

-a +b =-2

3a = 9

a =3

Subtitusikan a = 3 dalam 2a + b = 7
2(3) + b = 7
6 + b = 7
b = 1
Jadi a + b = 3 + 1 = 4
JAWABAN: E

Contoh No.6

Salah satu faktor dari (2x³ -5x² – px =3) ialah (x + 1). Faktor yang lain dari suku banyak tersebut adalah…
a.    (x – 2) dan (x – 3)
b.    (x + 2) dan (2x – 1)
c.    (x + 3) dan (x + 2)
d.    (2x + 1) dan (x – 2)
e.    (2x – 1) dan (x – 3)

PEMBAHASAN:

Yang merupakan faktornya ialah x + 1 –> x = -1

Maka, f(x) =
= (x + 1)(2×2 – 7x + 3)
= (x + 1)(2x – 1)(x – 3)
Jadi, faktor yang lainnya adalah (2x – 1) dan (x – 3)
JAWABAN: E

Contoh No.7

Ada Duapolinomial

÷ x + 1 akan mempunyai sisa sama, maka nilai 2m + 5 = …
a.    17
b.    18
c.    24
d.    27
e.    30

PEMBAHASAN:

Misalkan f(x) =
Apabila ÷(x + 1 ) –> x = -1 akan memiliki sisa sama,maka:
f(-1) = g(-1)

-1 -4 – 5 + m = 1 – 3 – 2
-10 + m = -4
m = -4 + 10
m = 6
Maka nilai 2m + 5 = 2(6) + 5 = 17
JAWABAN: A

Contoh No.8

Pada f(x) ÷ (x – 1) sisa 3, sedangkan ÷ (x – 2) sisa4. Jika dibagi dengan

maka sisanya ialah…

a.    –x – 2
b.    x + 2
c.    x – 2
d.    2x + 1
e.    4x – 1

PEMBAHASAN:

Misalkan sisanya = ax + b, maka
= (x – 2)(x – 1)
Maka sisanya adalah:
f(1) = 3
a + b = 3 … (i)
f(2) = 4
2a + b = 4 … (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

2a + b =4

a +b = 3

a =1
Dalam Subtitusi a = 1 pada a + b = 3
1 + b = 3
b = 2
Maka sisanya ialah: ax + b = x + 2
JAWABAN: B

Contoh No.9

Banyaknya akar-akar real dari

adalah …

a.    2
b.    3
c.    4
d.    5
e.    6

PEMBAHASAN:

x4 -3×3 -3×2 +7x +6 =0

(1 +)(x3 -4×2 +x +6) =0

(x +1)(x+1- x2 – 5x +6) + 0

Sehingga banyak akar- akarnya ada 3
JAWABAN: B

Contoh No.10

Jika polinomia : x3 -4x + px +6 dan z2 +3x -2 dibagi (x + 1) mempunyai sisa yang sama maka nilai p adalah …

a.    7
b.    5
c.    3
d.    -5
e.    -7

PEMBAHASAN:

Misalkan f(x) = x3 -4×2 + px +6 dan x2 +3x -2
Dibagi (x + 1) maka x = -1
f(-1) = g(-1)

JAWABAN: B

Contoh No.11

Polinomia x2 +ax3 + 2×2 +bx +5jika dibagi (x – 2) tersisa 7, sedangkan suku banyak tersebut dibagi (x + 3) akan memberikan sisa 182. Nilai dari: a2 -4ab +4b2= …

a.    1
b.    4
c.    9
d.    16
e.    25

PEMBAHASAN:

– Dibagi (x – 2) sisa 7, maka:
f(2) = 7

16 + 8a + 8 + 2b + 5 = 7
8a + 2b = -22
4a + b = -11 … (i)
– Dibagi (x + 3) sisanya 182
f(-3) = 182

81 – 27a + 18 – 3b + 5 = 7
-27a – 3b = 78
9a + b = -26 … (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

9a + b =-26

4a +b = -11

5a = -15

a = -3