Proyeksi skalar dan vektor orthogonal

Diberikan dua buah vektor OA dan OB, dengan θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Misalkan h adalah sebuah garis lurus yang melalui OB dan P adalah sebuah titik pada h sedemikian sehingga AP tegak lurus h, seperti pada gambar (i) atau (ii).

Proyeksi ortogonal vektor OA pada OB atau cukup kita sebut proyeksi vektor OA pada OB adalah proyeksi tegak lurus OA pada sebuah garis lurus yang melalui (sejajar) OB.

Jadi, proyeksi vektor OA pada OB adalah OP.

Apabila θ lancip maka OP akan searah dengan OB dan apabila θ tumpul maka OP akan berlawanan arah dengan OB, seperti pada gambar diatas.

Dengan demikian, vektor proyeksi OA pada OB, yaitu OP akan selalu kolinear dengan OB.

Panjang Proyeksi Vektor

Misalkan OA = a,  OB = b, dan OP = p, dengan |a| , |b| dan |p| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan p.

Dengan bantuan trigonometri, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| dapat dinyatakan dalam bentuk :
|p| = |a| cos θ,     jika θ lancip
|p| = -|a| cos θ,    jika θ tumpul

Mengingat  $\begin{array}{c}cos\theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}\end{array}$, maka

$\begin{array}{cc}|p|& =|a|\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{a\cdot b}{|b|},\theta lancip\end{array}$

$\begin{array}{cc}|p|& =-|a|\frac{a\cdot b}{|a||b|}=-\frac{a\cdot b}{|b|},\theta tumpul\end{array}$

Walaupun persamaan terakhir bertanda negatif, namun nilainya tetap positif. Hal ini disebabkan, ketika θ tumpul, maka a ‧ b < 0.


Secara umum, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| kita rumuskan

$$\begin{array}{c}|p|=\frac{\left|a\cdot b\right|}{\left|b\right|}\end{array}$$

dengan
|p| = panjang proyeksi vektor a pada b
|b| = panjang b
|a ‧ b| = nilai mutlak dari a ‧ b


 Contoh 1 
Diketahui a = [8, 4]  dan  b = [4, -3]. Tentukan panjang proyeksi vektor a pada b dan panjang proyeksi vektor b pada a

Jawab :
Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{array}{c}|p|=\frac{|a\cdot b|}{|b|}=\frac{|8\left(4\right)+4(-3)|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|20|}{5}=4\end{array}$

Panjang proyeksi vektor b pada a adalah

$\begin{array}{c}|p|=\frac{|a\cdot b|}{|a|}=\frac{|8\left(4\right)+4(-3)|}{\sqrt{8^2+4^2}}=\frac{|20|}{\sqrt{80}}=\sqrt{5}\end{array}$



 Contoh 2 
Panjang proyeksi vektor a = 3i + 4j - k  pada vektor b = i - 2j + k  adalah ...

Jawab :
a = [3, 4, -1]
b = [1, -2, 1]

Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{array}{c}|p|=\frac{|3\left(1\right)+4(-2)+(-1)1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\end{array}$

Proyeksi Skalar

Proyeksi skalar a pada b adalah suatu skalar yang nilainya sama dengan panjang proyeksi vektor a pada b, namun bertanda negatif jika vektor proyeksinya berlawanan arah dengan b.

Apabila proyeksi skalar a pada b kita notasikan dengan s, maka

$$\begin{array}{c}s=\frac{a\cdot b}{\left|b\right|}\end{array}$$

 Contoh 3 
Diketahui a = [3, 2, 4]  dan  b = [0, 3, -4]. Tentukan proyeksi skalar a pada b dan proyeksi skalar b pada a.

Jawab :
a = [3, 2, 4]
b = [0, 3, -4]

Proyeksi skalar a pada b adalah

$\begin{array}{c}s=\frac{a\cdot b}{|b|}=\frac{3\left(0\right)+2\left(3\right)+4(-4)}{\sqrt{0^2+3^2+(-4{)}^2}}=-2\end{array}$

Proyeksi skalar b pada a adalah

$\begin{array}{c}s=\frac{a\cdot b}{|a|}=\frac{3\left(0\right)+2\left(3\right)+4(-4)}{\sqrt{3^2+2^2+4^2}}=\frac{-10}{\sqrt{29}}\end{array}$

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor a pada b, yaitu p merupakan perkalian antara proyeksi skalar a pada b dengan vektor satuan dari b. Kita tulis,

$\begin{array}{c}p=s\hat{b}=\frac{a\cdot b}{\left|b\right|}\frac{b}{\left|b\right|}=\left(\frac{a\cdot b}{{\left|b\right|}^2}\right)b\end{array}$


Dengan demikian, proyeksi vektor a pada b dapat kita rumuskan menjadi

$$\begin{array}{c}p=\left(\frac{a\cdot b}{{\left|b\right|}^2}\right)b\end{array}$$

 Contoh 4 
Diketahui a = [6, -4, 2]  dan  b = [4, 2, -2]. Tentukan proyeksi vektor a pada b dan proyeksi vektor b pada a.

Jawab :
a = [6, -4, 2]
b = [4, 2, -2]

Proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{array}{cc}p& =\left(\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\right)b\\ & =\left(\frac{6\left(4\right)+(-4)2+2(-2)}{4^2+2^2+(-2{)}^2}\right)\left[4,2,-2\right]\\ & =\left(\frac{1}{2}\right)\left[4,2,-2\right]\\ & =[2,1,-1]\end{array}$


Proyeksi vektor b pada a adalah

$\begin{array}{cc}p& =\left(\frac{a\cdot b}{|a{|}^2}\right)a\\ & =\left(\frac{6\left(4\right)+(-4)2+2(-2)}{6^2+(-4{)}^2+2^2}\right)\left[6,-4,2\right]\\ & =\left(\frac{3}{14}\right)\left[6,-4,2\right]\\ & =\left[\frac{9}{7},-\frac{6}{7},\frac{3}{7}\right]\end{array}$



Berdasarkan uraian-uraian diatas, kita dapat menyimpulkan 2 hal berikut :

1. Proyeksi skalar akan menghasilkan skalar (bisa bernilai positif atau negatif), sedangkan proyeksi vektor akan menghasilkan vektor.
2. Panjang proyeksi vektor merupakan nilai mutlak dari proyeksi skalar.

Contoh Soal Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor

Contoh 1
Diketahui 3 titik A(4, -1, 2), B(4, 3, -2) dan C(1, 3, 2). Tentukan panjang proyeksi vektor AB pada BC

Jawab :
AB = [4, 3, -2] - [4, -1, 2] = [0, 4, -4]
BC = [1, 3, 2] - [4, 3, -2] = [-3, 0, 4]

Panjang proyeksi vektor AB pada BC adalah

$\begin{array}{cc}|p|& =\frac{\left|AB\cdot BC\right|}{|BC|}\\ & =\frac{\left|0(-3)+4\left(0\right)+(-4)4\right|}{\sqrt{(-3{)}^2+0^2+4^2}}\\ & =\frac{|-16|}{5}=\frac{16}{5}\end{array}$


Contoh 2
Dua vektor u = 2i + 3j + mk  dan v = 4i - 4j + 2k membentuk sudut tumpul. Jika panjang proyeksi vektor u pada v adalah 2, maka nilai m adalah ...

Jawab :
u = [2, 3, m]
v = [4, -4, 2]

Misalkan vektor proyeksi u pada v adalah p, dengan panjangnya adalah |p| = 2

$\begin{array}{cc}|p|& =\frac{|u\cdot v|}{|v|}\\ 2& =\frac{|2\left(4\right)+3(-4)+m\left(2\right)|}{\sqrt{4^2+(-4{)}^2+2^2}}\\ 2& =\frac{|2m-4|}{6}\\ 12& =|2m-4|\end{array}$

Dari persamaan nilai mutlak diatas, diperoleh
2m - 4 = 12  atau  2m - 4 = -12
2m = 16  atau  2m = -8
m = 8  atau  m = -4

Karena u dan v membentuk sudut tumpul, maka
u ‧ v < 0   ⇔   2m - 4 < 0   ⇔   m < 2

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m = -4


Contoh 3
Diketahui p = [2, -1, 7] dan q = [3, 0, -4]. Tentukan proyeksi skalar (p + q) pada 2q

Jawab :
p + q =  [2, -1, 7] + [3, 0, -4] = [5, -1, 3]
2q = 2[3, 0, -4] = [6, 0 -8]

Proyeksi skalar (p + q) pada 2q adalah

$\begin{array}{cc}s& =\frac{(p+q)\cdot 2q}{|2q|}\\ & =\frac{5\left(6\right)+(-1)0+3(-8)}{\sqrt{6^2+0^2+(-8{)}^2}}\\ & =\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\end{array}$


Contoh 4
Diketahui a = pi - 2j + 2k dan b = 2i + qj + 4k. Jika c = i - 3j + rk adalah proyeksi vektor a pada b,  maka nilai p + q + r adalah ...

Jawab :
a = [p, -2, 2]
b = [2, q, 4]
c = [1, -3, r]

Proyeksi vektor a pada b adalah c. Dengan demikian, b kolinear dengan c. Akibatnya, terdapat skalar k sehingga b = kc

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}2\\ q\\ 4\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ r\end{array}\right]\end{array}$

Dari persamaan diatas, diperoleh
2 = k(1)   ⇔   k  = 2
q = k(-3)   ⇔   q = -6
4 = k(r)   ⇔   r = 2

Proyeksi vektor a pada b kita tulis :

$\begin{array}{cc}c& =\left(\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\right)b\\ \left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right]& =\left(\frac{p\left(2\right)+(-2)(-6)+2\left(4\right)}{2^2+(-6{)}^2+4^2}\right)\left[\begin{array}{c}2\\ -6\\ 4\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right]& =\left(\frac{2p+20}{56}\right)\left[\begin{array}{c}2\\ -6\\ 4\end{array}\right]\end{array}$

Diperoleh persamaan

$\begin{array}{cc}1& =\left(\frac{2p+20}{56}\right)2\\ 28& =2p+20\\ 8& =2p\\ p& =4\end{array}$

Jadi, p + q + r = 4 + (-6) + 2 = 0

Silahkan coba sendiri beberapa latihan soal berikut:

1. Diketahui vektor-vektor p=2i-5j+k dan q=2i+4j+ak . Jika vektor p tegak lurus terhadap vektor q maka nilai  a adalah …
2. Diketahui vektor p = (3,-6,-4), q = (2,-1,x) dan r = (4,-2,1). Vektor p tegak lurus q  maka hasil dari p+q+r adalah....
3. diketahui vektor a = i-xj+2k, b = 2i+j-yk dan c = -i+j. jika |a|=3, |b|=3 maka panjang vektor (a+b-c) adalah ...
4. Diketahui vektor-vektor p=2i-5j+k dan q=2i+4j+ak . Jika vektor p tegak lurus terhadap vektor q maka proyeksi vektor p pada q adalah ....
5. Diketahui vektor p = (3,-6,-4), q = (2,-1,x) dan r = (4,-2,1). Vektor p tegak lurus q  maka proyeksi vektor (p+q) pada r adalah....