Persepsi terhadap matematika

Testimoni:
 Si Agus anak yang pandai, nilai matematikanya 9,00

Si Anton pinter dia, jago matematika

Si Budi keren, logikanya main banget.

Mengapa matematika selalu di kaitkan dengan kepandaian seseorang?

Dalam belajar matematika seluruh aspek dipelajari mulai dari konsep, prosedur dan ketrampilan. Untuk memahami konsep diperlukan penguasaan terhadap tulisan dan logika berpikir. Sering kali belajar matematika hanya dengan menghafal contoh yang ada, sehingga jika terdapat perubahan permasalahan maka pembelajar mengalami kesulitan.
Logika matematika sangat diperlukan dalam semua bidang kehidupan. Sebagai contoh logika sederhana jika melihat kondisi sedang mendung maka hari akan hujan, jika hujan maka membawa jas hujan. Dapat diambil kesimpulan jika mendung maka membawa jas hujan. (Bagi yang naik motor, hehe.., jika naik mobil ya musti bawa payung di mobilnya, untuk jaga-jaga).
Semakin baik logika seseorang akan semakin baik pula penguasaan matematikanya.
Keuletan dan ketekunan sangat diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan matematika. Sering kali satu permasalahan membutuhkan waktu yang cukup lama bahkan berjam-jam. Rasa malas selalu datang saat tidak berhasil menemukan penyelesaian, hal ini menjadi penyebab gagalnya seseorang dalam belajar matematika.

"Sukalah maka kamu akan berhasil". 
Abg yang sedang jatuh cinta pasti akan melakukan berbagai upaya untuk mendapatkan pasangannya. 
Anggaplah seperti itu, jika pingin pinter matematika ya harus suka dulu, hehe...

Matematika adalah permainan, 1+2=... sepertinya tidak ada masalah pasti menjawab 3. Akan tetapi banyak kendala saat harus berpikir terbalik dengan diberikan berbagai variabel. Misalnya tentukan nilai x apabila x+2=3, x-(-2)=3, x+2=3x dsb. Padahal jika dikembalikan ke konsep awal maka nilai x pastinya 1.

$\begin{matrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & ...
\end{matrix}$

Apakah isi titik tiga pada kolom yang kosong?

Jika menjawab 6 maka sangat lugaslah anda

Jika menjawab 8 maka pola berpikir anda sudah mulai meningkat

Jika menjawab R maka anda sudah berpikir out of the box, anda seorang montir atau pecinta mobil coba perhatikan pada handel persneling, pasti tertulis R disitu.

Banyak sekali hal-hal seru dan game-game yang melibatkan matematika seperti sudoku, rummikub dll

Itu game kesukaanku, hehe
Ok sampai disini dulu, semoga menjadi penyemangat untuk belajar matematika.

Integral cara subtitusi

Integral cara subtitusi digunakan apabila fungsi f(x) jika dijabarkan akan menjadi lebih panjang/rumit. Cirinya bagian dari f(x) yang akan di misalkan dapat menghabiskan bagian yang lain, biasanya pangkatnya berselisih satu.

Contoh: 

1. Tentukan $\int x^{2}(x^{3}-1)^{5}dx$

Jawab:

Dimisalkan $u=(x^{3}-1)$

$\frac{du}{dx}=3x^2$

$dx=\frac{du}{3x^2}$

$=\int x^{2}(x^{3}-1)^{5}dx$
$=\int x^{2}u^{5}\frac{du}{3x^2}$

$=\int{\frac{1}{3}\cdot u^5}du$
$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}\cdot u^{6}+c$
$=\frac{1}{18}\cdot u^{6}+c$
$=\frac{1}{18}\cdot {(x^3-1)}^{6}+c$

2. Tentukan $\int x^{3}\sqrt{(x^{4}-1)^{5}}dx$

Jawab:

Dimisalkan $u=(x^{4}-1)$

$\frac{du}{dx}=4x^3$

$dx=\frac{du}{4x^3}$

$=\int x^{3}\sqrt{(x^{4}-1)^{5}}dx$
$=\int x^3\cdot u^{\frac{5}{2}}\cdot\frac{du}{4x^3}$
$=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\frac{5}{2}+\frac{2}{2}}\cdot u^{\frac{5}{2}+\frac{2}{2}}+c$
$=\frac{1}{14}\cdot u^{\frac{7}{2}}+c$
$=\frac{1}{14}\cdot \sqrt {(x^{4}-1)^{7}}+c$

Latihan soal
Tentukan nilai dari:

1. $\int x^4{(x^5+4)}^7 dx$
2. $\int (x^3+1){(5x^4+20x)}^6 dx$
3. $\int (x^{2}-2)\sqrt{(2x^{3}-12x)^{5}}dx$

Matematika melatih ketahanan otak agar tidak pikun

Anda bahkan tidak perlu mengerjakan soal matematika yang terlalu sulit

Mungkin Anda berpikir bahwa semakin sulit soal yang dikerjakan, semakin banyak pula bagian otak yang aktif. Padahal, ternyata tidak demikian. Justru saat Anda mengerjakan soal matematika yang sulit, hanya sisi otak kiri saja yang bekerja. Sisi otak sebelah kiri merupakan area yang berfungsi untuk mengatur bahasa (pada orang yang tidak kidal).

Mengapa begitu? Ternyata saat mengerjakan soal yang sulit, misal 54 : (0,51-0,9) maka tentu Anda tidak langsung tahu jawabannya. Anda malah akan berkali-kali membaca soalnya. Inilah yang membuat bagian otak kiri Anda, yang berperan penting dalam fungsi bahasa, yang harus bekerja keras.

Berbeda dengan saat Anda mengerjakan soal yang mudah, karena sisi kiri dan kanan otak Anda akan menjadi aktif secara seimbang

Bagian otak apa yang bekerja saat kita belajar matematika?

Otak manusia terdiri dari empat “kamar”, atau yang dikenal dalam bahasa kedokteran sebagai lobus. Keempat kamar tersebut adalah lobus frontal, lobus parietal, lobus oksipital, dan lobus temporal. Setiap kamar tersebut memiliki lokasi yang berbeda dan fungsi yang berbeda pula.

Saat Anda belajar matematika, maka lobus frontal dan parietal akan bekerja lebih aktif. Lobus frontal sendiri terletak di daerah dahi Anda dan berfungsi untuk memproses informasi baru, berpikir logis, mengatur gerakan tubuh, dan berbahasa.

Bagian otak kedua yang bekerja keras saat Anda belajar matematika adalah lobus parietal. Fungsinya adalah mengatur indra peraba (sentuhan), mendeteksi lokasi dan arah, serta berhitung.

Benarkah belajar matematika bisa menambah kecerdasan?

Penelitian yang dilakukan oleh Profesor Ryuta Kawashima berusaha membandingkan otak peserta penelitian yang bermain gamedengan peserta penelitian yang mengerjakan soal matematika yang cukup mudah (misalnya penjumlahan, pengurangan, dan perkalian). Awalnya para ahli mengira peserta yang bermain game akan memiliki otak yang lebih aktif dibanding yang mengerjakan matematika. Namun, ternyata jumlah bagian otak yang aktif saat mengerjakan matematika lebih banyak daripada saat bermain game.

Ketika Anda mengerjakan soal matematika yang mudah, area prefrontal pada otak anda akan menjadi aktif. Bagian ini berfungsi untuk belajar dan berpikir logis. Bahkan ketika Anda mengerjakan soal perkalian yang mudah (seperti 4×4), ternyata bagian otak yang berfungsi untuk berbicara juga menjadi aktif.

Ini karena secara tidak sadar otak Anda akan mengingat kembali bacaan tabel perkalian. Hal inilah yang membuat bagian otak Anda yang berfungsi untuk membaca turut menjadi aktif.

Pada usia lanjut, umumnya akan terjadi penurunan kemampuan berpikir. Terutama pada bagian prefrontal yang akan diaktifkan bila Anda mengerjakan latihan soal matematika. Akan ada dua proses pada bagian otak untuk mengolahnya, yaitu kemampuan membaca soal dan angka-angka, mengoperasikan angka-angka tersebut, dan menggerakan tangan untuk menuliskan rumus, hitungan, dan hasil jawabannya. Hal sederhana ini ternyata dapat meningkatkan kemampuan berpikir dan menurunkan tingkat keparahan pikun.

Mengapa belajar Matematika

Matematika sebagai dasar:

1. Pola Pikir Sistematis

   Matematika adalah salah satu pelajaran yang membantu kamu berpikir secara sistematis. Hal yang sangat penting dalam menjalani kehidupan, baik dalam pekerjaan maupun keseharian.
   Melalui kebiasaan berhitung, berlatih deret, dan sejenisnya, secara tidak sadar kamu telah memaksa otak untuk terbiasa berpikir secara runut. Hal ini akan membuatmu mudah dalam mengorganisasi segala sesuatu. Kemampuan ini yang juga sangat mendukung untuk menjadi seorang pemimpin kelak ketika kamu dewasa.

2. Logika Berpikir Lebih Berkembang

   Seluruh aspek dalam pelajaran matematika berbicara mengenai kemampuan berpikir logis. Tidak ada asumsi, praduga, atau tebak-tebakan. Semua harus dihasilkan melalui penghitungan yang tepat.
   Bahkan berdasarkan literasi yang ditulis oleh Johnson dan Rising (1972), matematika dibentuk atas dasar kebutuhan pembuktian yang logis. Pernyataan ini tentu semakin menguatkan posisi matematika sebagai media pembelajaran efektif agar kamu tumbuh menjadi orang yang anti-galau. Logika akan membantu menajamkan pola pikir, yang tentu membuat kamu mampu mengambil keputusan secara matang.
   Tentu kamu cukup peka melihat kondisi masyarakat sekarang yang mudah terbius informasi hoax, kan? Itu adalah satu dari contoh kemampuan berpikir logis yang rendah. Melakukan latihan soal matematika akan secara paralel melatih otak menggunakan logika berpikir secara optimal. Setidaknya, kamu akan menjadi generasi yang lebih banyak berpikir dengan logika sebelum bertindak.

3. Terlatih Berhitung

   Siapa yang tidak membutuhkan kemampuan berhitung? Tidak ada, bukan? Semua orang butuh keterampilan berhitung. Bahkan dalam skala yang sangat sederhana seperti menghitung uang kembalian.
   Sayangnya, hal ini kurang disadari oleh sebagian siswa. Penggunaan angka yang sejatinya simbol untuk mengukur hasil, malah menjadi hal yang dihindari. Perlu dicamkan, kebutuhan berhitung memang tidak perlu ahli, namun setidaknya mampu melakukannya dengan tepat dan cepat. Apalagi, jika kelak kamu adalah seorang pebisnis. Tentu kamu tidak ingin salah menghitung keuntungan.

4. Mampu Menarik Kesimpulan Secara Deduktif

   Matematika sering disebut juga sebagai ilmu yang bersifat deduktif. Artinya, matematika membantu seseorang dalam menarik kesimpulan berdasarkan pola yang umum. Hal ini akan membiasakan otak kita untuk berpikir secara objektif.
   Kemampuan berpikir objektif lagi-lagi adalah satu dari sekian banyak soft skill yang dicari oleh seluruh bidang kerja. Bukan cuma itu, dengan sering menyelesaikan latihan matematika berupa kasus logika, kamu pun akan terbiasa berpikir secara rasional.

5. Menjadi Teliti, Cermat, dan Sabar

   Pelajaran matematika sarat akan soal-soal yang rumit dan panjang. Hal yang tentu membutuhkan kesabaran dalam menyelesaikannya. Terlebih jika salah satu langkah saja, maka bisa jadi kamu harus mengulang kembali proses menghitung dari awal.
   Tahukah kamu, seorang yang terbiasa menyelesaikan persoalan matematika yang rumit dapat berkembang menjadi seorang yang lebih teliti, cermat, serta sabar? Kondisi ini bisa lahir melalui pembiasaan dengan soal-soal matematika. Buktinya, profesi semacam analis, ilmuwan, atau akuntan, biasa dijalani oleh orang-orang yang teliti dalam menelaah data.

Terlepas dari apapun cita-cita kamu, pelajaran matematika dapat membantumu untuk mencapainya. Karena inilah manfaat pelajaran matematika yang pada hakikatnya beririsan dengan beragam bidang kerja. Maka, mulailah mencintai pelajaran matematika, niscaya kamu akan menikmati saat mempelajarinya dan juga menggunakan manfaat pelajaran matematika di kehidupanmu.

Sejarah integral

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil" untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung, Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral 
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah penemuan dan pengembangan yang agak unik. Metode ini banyak di minati oleh para ilmuwan lain di luar bidang matematika. Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah:
1.    Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes telah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.
2.    Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.
3.    Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.
4.    George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.

Fungsi eksponensial

A.    Persamaan Eksponen

Untuk a > 0, a  ¹ 1;  b > 0, b  ¹ 1, maka berlaku

1.      Jika a^f(x) = a^p, maka f(x) = p

2.      Jika a^f(x) = a^g(x), maka f(x) = g(x)

3.      Jika a^f(x) = b^f(x), maka f(x) = 0

4.      Jika {h(x)}^f(x) = {h(x)}^g(x), maka

a)      f(x) = g(x)

b)      h(x) = 1

c)      h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0

d)      h(x) = – 1  untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap

5.      Jika A(a^f(x))² + B(a^f(x)) + C = 0, maka dapat diselesaikan secara persamaan kuadrat.

B.     Pertidaksamaan Eksponen

§  Untuk a > 1

1.     Jika a^f(x) > a^g(x), maka f(x) > g(x)

2.     Jika a^f(x) < a^g(x), maka f(x) < g(x)

§  Jika 0 < a < 1

1.     Jika a^f(x) > a^g(x), maka f(x) < g(x)

2.     Jika a^f(x) < a^g(x), maka f(x) > g(x)

C.    Persamaan Logaritma

Untuk a > 0, a ¹ 1;  f(x) > 0, g(x) > 0

1.      Jika ^alog f(x) =  ^alog p, maka f(x) = p

2.      Jika ^alog f(x) =  ^alog g(x),  maka f(x) = g(x)

D.    Pertidaksamaan Logaritma

§  Untuk a > 1

1.     Jika ^alog f(x) >  ^alog g(x), maka f(x) > g(x)

2.     Jika ^alog f(x) < ^alog g(x), maka f(x) < g(x)

§  Jika 0 < a < 1

1.      Jika ^alog f(x) >  ^alog g(x), maka f(x) < g(x)

2.      Jika ^alog f(x) <  ^alog g(x), maka f(x) > g(x)